Apuntes sobre la mutación de los triángulos
Mal que le pese a Pitágoras y a todos sus sucesores, los triángulos saben tener costumbres que no siempre se condicen con los estrictos cálculos y con los prolijos teoremas que, es sabido, los condenan a la infinita quietud en la inamovible cárcel del papel milimetrado a veces, en la inmaculada hoja del cuaderno en tantas otras.
Quien se haya detenido con el suficiente tiempo y la necesaria paciencia a mirar y mirar un triángulo, ya habrá descubierto esa inevitable tendencia a mudar de forma, a cambiar lenta pero rigurosamente la tensión de los ángulos y por ende la dimensión de los lados opuestos, ya que es sabido, en cualquier triángulo que se precie de serlo, los ángulos y sus lados opuestos se calzan como anillo al dedo.
Es muy difícil explicar esto sin gráficos, pero conocida que es esa molesta costumbre de los triángulos de mutar de forma, no valdría de nada que al dorso de esta hoja yo le apuntara -por ejemplo- un triángulo isósceles con un pomposo subtítulo “gráfico 1” y que al llegar a sus manos fuera -digamos- un equilátero o un rectángulo, o que posea un estirado ángulo obtuso, lo que terminaría siendo nada más que un nuevo inconveniente, un aporte a la confusión que impedirá sin duda que usted y yo nos entendamos. Tendrá que ser sin gráficos entonces; haremos lo posible.
Usted piense en un triángulo rectángulo. Si, es ese que tiene un ángulo recto y los otros dos vaya a saber, aunque no dude que suman noventa grados. Ya lo tiene en vista, no es cierto? Si, seguro que ya se acordó de que elcuadradodelahipotenusaesigualalasumadelcuadradodeloscatetos ¿vio? Ese, ese es el triángulo del que estamos hablando pero no lo dibuje, no lo vaya a dibujar por favor.
Para ponernos en un todo de acuerdo y no dejar el mínimo detalle librado al azar supongamos, usted y yo, que nuestro triángulo rectángulo tiene un cateto menor perpendicular a la horizontal de la imaginaria hoja y por ende -aunque huelgue decirlo- el cateto mayor coincide con esa horizontal, mientras que la hipotenusa se recuesta oblicua sobre ellos uniendo sus dos vértices libres como dios manda.
Ahora bien, el equilibrio de estos tres segmentos que usted y yo tenemos en mente y que organizadamente conforman un triángulo, es por demás inestable. Unos y otros, vaya uno a saber por qué motivos, pretenden cambiar su situación; los catetos menores aspiran a mayores o las hipotenusas se resienten de su reposo constante. Y como unos y otros se interdependen en razón de tantos teoremas sobre los que no creo necesario insistir, el resultado inevitable es el desarrollo de las más variadas metamorfosis. Pongamos por caso que es el cateto menor el que pretende estirarse, aunque más no sea que a modo de ejemplo y atendiendo a su imaginable sentimiento de inferioridad.
Evidentemente, al comenzar el estiramiento del susodicho cateto, la hipotenusa será compelida a tomar una decisión a riesgo de la debacle de toda la construcción, dado que si la hipotenusa no responde y no se reacomoda al capricho del cateto menor se obtendrá alguna nueva forma geométrica, pero ya de ningún modo un triángulo.
Analicemos el ejemplo con más detalle. La hipotenusa podrá optar por adaptarse digamos “naturalmente” al crecimiento del cateto menor mediante el simple expediente de crecer también lo suficiente para mantener su condición de hipotenusa. Esta, que es a primera vista su reacción más esperable, no es la que resulta siempre -es la reacción natural con comillas- y eso por muchas razones, pero especialmente porque la hipotenusa no tiene ninguna obligación de andar creciendo cuando al cateto le viene en gana estirarse, y no parece haber ninguna ley geométrica que la condicione a eso. De cualquier forma, vale la pena recordar a riesgo de parecer insistente, que los tres segmentos se interdependen y se condicionan de tal modo que la hipotenusa -en el caso del ejemplo- está obligada a mutar para que el triángulo se mantenga como tal.
La otra posibilidad es la de que la hipotenusa mantenga su longitud, para lo cual deberá, al ceder a la presión del cateto menor, agrandar su ángulo con el cateto mayor. Este movimiento, es obvio, convertirá al ex triángulo rectángulo del ejemplo en un vulgar y sencillo triángulo agudo.
Es claro que la hipotenusa perderá su condición de tal, lo que desde nuestro punto de vista puede significar una desjerarquización, pero conviene no olvidar que hablamos de segmentos y de triángulos, y no aparece como del todo correcto que traslademos así, mecánicamente, nuestra escala de valores máxime, cuando de cualquier modo catetos e hipotenusas dependen de igual modo del movimiento y el capricho de sus vecinos, tanto unos como otros son esclavos irredentos de los teoremas y las relaciones. Es justo mencionar que en algunos casos la hipotenusa asume este comportamiento, a pesar de que continuado el movimiento hasta que su ángulo con el que era el cateto mayor alcanza noventa grados pasa ipso facto a convertirse en cateto mayor, mientras que el estirado y recostado ex cateto menor asume el rol de novel hipotenusa.
Por último, la hipotenusa puede asumir otro comportamiento más traumático para la figura, pero que le permite defender su longitud y su condición de hipotenusa. Esto lo logrará presionando sobre el cateto mayor para que éste disminuya su longitud, agrandando su ángulo con él, de modo tal que pueda soportar sin mella el estiramiento del cateto menor. Este comportamiento tendrá sin duda límites claros. Por un lado, si esta mutación se continúa sin pausa hasta que el cateto menor alcanza la longitud de la hipotenusa, habrá desaparecido el triángulo y quedará un segmento -o dos superpuestos que es decir lo mismo- totalmente intrascendentes desde el punto de vista de estos apuntes en los que hablamos de triángulos. Por el otro, el cateto mayor podrá resistirse a disminuir de tamaño variando a su vez su ángulo con el cateto menor, a raíz de lo cual surgirán nuevos triángulos de formas absolutamente insospechadas, pero no por eso menos triangulares.
Es de esperar que en muchos casos, producto de la tensión propia de las mutaciones, la hipotenusa o alguno de los catetos termine por quebrarse, de lo que resultará que la figura se cuadrilateraliza, si es que esta palabra existe. Pero si no también.
Si en el proceso de mutación se producen quiebras múltiples, la figura adquirirá nuevas formas poligonales ya no triangulares, por lo que se ve claramente que las alternativas son muchas, digamos demasiadas para no vernos, de paso, comprometidos a extender más este ejemplo.
Ya sé que serán muchos los matemáticos que pretenderán mantenerse en sus trece y defenderán a capa y espada las inmutables teorías, las fabulaciones sobre figuras inmóviles, siempre listas para resistir la estricta medición de reglas y escuadras. Sé que otros tantos, afortunadamente, hacen como aquel otro que inventó esa otra realidad en un pozo maravillado, y la iluminó con palabras para arrancarle una sonrisa sorprendida a alguna niña rubia.
A mí, por mi parte, no lograrán convencerme de que un triángulo equilátero puede soportar durante mucho tiempo la calculada igualdad de sus lados y sus ángulos, sin morirse inevitablemente de aburrimiento.
